以幾類數(shù)值計(jì)算方法的可視化動(dòng)態(tài)仿真為例

1．開(kāi)題報(bào)告（含“文獻(xiàn)綜述”）
作為畢業(yè)論文答辯委員會(huì)對(duì)學(xué)生答辯資格審查的依據(jù)材料之一。此報(bào)告應(yīng)在指導(dǎo)教師指導(dǎo)下，由學(xué)生在畢業(yè)論文工作前期內(nèi)完成，經(jīng)指導(dǎo)教師簽署意見(jiàn)及所在專業(yè)審查后生效；

2．開(kāi)題報(bào)告內(nèi)容必須用黑墨水筆工整書(shū)寫或按教務(wù)處

統(tǒng)一設(shè)計(jì)的電子文檔標(biāo)準(zhǔn)格式打印，禁止打印在其它紙上后剪貼，完成后應(yīng)及時(shí)交給指導(dǎo)教師簽署意見(jiàn)；

3．“文獻(xiàn)綜述”應(yīng)按論文的格式成文，并直接書(shū)寫（或打?。┰诒鹃_(kāi)題報(bào)告第一欄目?jī)?nèi)，學(xué)生寫文獻(xiàn)綜述的參考文獻(xiàn)應(yīng)不少于10篇（不包括辭典、手冊(cè)）；

4．有關(guān)年月日等日期的填寫，應(yīng)當(dāng)按照國(guó)標(biāo)gb/t 7408—94《數(shù)據(jù)元和交換格式、信息交換、日期和時(shí)間表示法》規(guī)定的要求，一律用阿拉伯?dāng)?shù)字書(shū)寫。如“2004年2月26日”或“2004-02-26”。

數(shù)值計(jì)算方法，簡(jiǎn)稱計(jì)算方法，是一種研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值近似解方法，是解決“計(jì)算"問(wèn)題的橋梁和工具。計(jì)算機(jī)是數(shù)值計(jì)算方法最常用的計(jì)算工具，隨著電子計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，在許多的領(lǐng)域內(nèi)，科學(xué)計(jì)算也顯的愈來(lái)愈重要，其內(nèi)容主要包括插值，數(shù)值微分和數(shù)值積分、曲線擬合的最小二乘法、非線性方程求解、解線性方程組的直接法、解線性方程組的迭代法、計(jì)算矩陣的特征值和特征向量、常微分方程數(shù)值解，見(jiàn)文獻(xiàn)[1-2]。

而算法是數(shù)值計(jì)算方法的基礎(chǔ)，古代中國(guó)早就有算法思想，但是其又不能完全等同于現(xiàn)代計(jì)算數(shù)學(xué)中的算法。直到20世紀(jì)30年代才對(duì)精確的算法概念給出確切的定義。15世紀(jì)歐洲資本主義工商業(yè)興起，科學(xué)技術(shù)有了新的發(fā)展，數(shù)學(xué)發(fā)展的主要舞臺(tái)移至歐洲，與希臘式的數(shù)學(xué)交匯結(jié)合，孕育了近代數(shù)學(xué)的誕生。各個(gè)時(shí)期的大數(shù)學(xué)家，在發(fā)展基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的同時(shí)也都對(duì)數(shù)值計(jì)算方法作出了重要的貢獻(xiàn)。如牛頓、歐拉、拉格朗日，高斯和切比雪夫等等。1946年馮．諾依曼和其同事起草并向美國(guó)海軍部提交了一份報(bào)告《高階線性方程組的解》，這標(biāo)志著計(jì)算數(shù)學(xué)或叫數(shù)值分析作為一門學(xué)科正式誕生。隨著國(guó)內(nèi)外科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)值計(jì)算方法發(fā)展基于兩大背景條件：一是以其自身內(nèi)部純數(shù)學(xué)理論為基礎(chǔ)，向著方程的離散、網(wǎng)格與自適應(yīng)相耦合，算法、程序與并行相耦合，算法保真，算法健壯等等方向發(fā)展。如形成了涉及最佳逼近、插值與樣條逼近、算子方程迭待解的逼近、細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近等熱點(diǎn)領(lǐng)域。二是以其應(yīng)用性為基礎(chǔ)，應(yīng)用于計(jì)算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，即借助于函數(shù)分析及運(yùn)籌學(xué)方法研究神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的本質(zhì)。還有應(yīng)用于數(shù)學(xué)和生物交叉學(xué)科的計(jì)算生物學(xué)，以此研究計(jì)算神經(jīng)科學(xué)?？傊跀?shù)值計(jì)算日益發(fā)展地趨勢(shì)下，其方法內(nèi)容也越來(lái)越豐富,在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中也發(fā)揮越來(lái)越大的作用，并日益融人社會(huì)生活的許多方面，成為推動(dòng)科學(xué)技術(shù)和社會(huì)發(fā)展的重要?jiǎng)恿Γ?nbsp;

當(dāng)下，基于數(shù)值計(jì)算方法的實(shí)際應(yīng)用性，在科學(xué)研究和工程技術(shù)中都要會(huì)到各種計(jì)算方法。例如，在航天航空、地質(zhì)勘探、汽車制造、橋梁設(shè)計(jì)、天氣預(yù)報(bào)和漢字字體設(shè)計(jì)中都有計(jì)算方法的蹤影。與此同時(shí)，很多學(xué)者及研究人員也在對(duì)數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行更進(jìn)一步的研究與探討，并不斷優(yōu)化已有的算法，以希望通過(guò)更好更優(yōu)的方法，得出更精確的數(shù)據(jù)，以便掌握事物發(fā)展的規(guī)律，同時(shí)促進(jìn)社會(huì)的發(fā)展。見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。

如2017年j．m．carnicer在文獻(xiàn)[4]中，對(duì) lagrange插值多項(xiàng)式在一些條件下的最優(yōu)性與穩(wěn)定性進(jìn)行分析研究，進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)；同時(shí)對(duì)newton插值多項(xiàng)式進(jìn)行調(diào)節(jié)測(cè)試，并進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。

2017年郭小樂(lè)在文獻(xiàn)[5]中在基于matlab的基礎(chǔ)上對(duì)幾種常見(jiàn)的插值法：拉格朗日插值、牛頓插值、hermite插值及三次樣條插值，討論其不同形式的表達(dá)式及誤差，結(jié)合matlab給出具體實(shí)例，對(duì)比分析。此外還就三次樣條插值的不同計(jì)算方法進(jìn)行歸納、總結(jié)。

2016年李順在文獻(xiàn)[6]和2019年吳江在文獻(xiàn)[7]分別對(duì)求解非線性方程的幾種迭代方法進(jìn)行介紹說(shuō)明和研究，例如經(jīng)典的newton迭代法，同時(shí)二人還分別在已有的迭代法的基礎(chǔ)上，分別對(duì)已有的迭代法進(jìn)行一些改進(jìn)與推廣，使其可能有更廣的適用范圍和更為優(yōu)化的過(guò)程，最后，均通過(guò)計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，通過(guò)可視化的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了算法的有效性。

2018年張輝在文獻(xiàn)[8]討論關(guān)于求解非線性方程（組）的幾種改進(jìn)的牛頓迭代方法。在基于幾種含參數(shù)迭代格式基礎(chǔ)上，采用待定系數(shù)方法，給出含參數(shù)三階牛頓迭代格式，討論構(gòu)造過(guò)程，分析收斂性。對(duì)數(shù)值實(shí)驗(yàn)中的六種非線性方程，討論給出迭代格式中的參數(shù)與迭代次數(shù)的關(guān)系，并與牛頓迭代格式以及三種同階迭代格式比較，所給出迭代格式有良好的優(yōu)勢(shì)。

2016年雍龍泉在文獻(xiàn)[9]中對(duì)求解線性方程組的的幾種迭代方法進(jìn)行了研究與說(shuō)明，例如經(jīng)典的jacobi迭代；gauss-seidel迭代；給出了迭代方法收斂的充分條件。進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步表明,在大規(guī)模線性方程求解時(shí)，迭代矩陣譜半徑的大小決定算法的收斂速度；在譜半徑小于1的前提下，譜半徑越小，則收斂速度越快。

2017年張軍在文獻(xiàn)[10]中對(duì)幾類數(shù)值積方法分進(jìn)行了更為深入的研究與分析，例如牛頓-科特斯積分，梯形求積，復(fù)化梯形求積和高斯積分求積，以及各個(gè)相對(duì)應(yīng)的誤差問(wèn)題，最后推廣到通過(guò)智能算法實(shí)現(xiàn)數(shù)值積分算法，同時(shí)也通過(guò)具體實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了智能算法在求積公式求解中的應(yīng)用是行之有效的方法。

2019年姜兆檸在文獻(xiàn)[11]中對(duì)求解常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法進(jìn)行了綜合研究，主要對(duì)幾種常用的求解數(shù)值解的方法進(jìn)行了探討，包括歐拉法，改進(jìn)歐拉法，龍格庫(kù)塔方法，阿等來(lái)求解一些常微分方程的數(shù)值解，并對(duì)各個(gè)解法進(jìn)行了優(yōu)缺點(diǎn)及可行性的討論。同時(shí)2018年l.f. shampine，在文獻(xiàn)[12]中詳細(xì)的介紹了微分方程數(shù)值解的問(wèn)題。

然而，對(duì)數(shù)值計(jì)算方法的研究，也不能僅僅拘泥于純萃的理論的研究學(xué)習(xí)，我們或許更希望在學(xué)習(xí)計(jì)算方法過(guò)程中，能用某種計(jì)算機(jī)語(yǔ)言編制該方法程序，然后通過(guò)計(jì)算機(jī)，將算法的具體步驟與計(jì)算過(guò)程更進(jìn)一步的可視化呈現(xiàn)出來(lái)，那樣更有利于準(zhǔn)確而準(zhǔn)刻地掌握該方法的計(jì)算步驟和過(guò)程，同時(shí)更有利于我們的學(xué)習(xí)。

如2020年彭東海在文獻(xiàn)[13]中對(duì)常微分方程的求解和解的性態(tài)分析問(wèn)題運(yùn)用matlab平臺(tái)求解常微分方程解析解、數(shù)值解以及定性分析仿真的方法進(jìn)行了研究探討。

2018年周忠周，瑞芳文在文獻(xiàn)[14]中提出在常微分?jǐn)?shù)值解法過(guò)程中，利用matlab的圖形化函數(shù)及dev c++結(jié)合qpengl動(dòng)畫技術(shù)，將數(shù)值計(jì)算結(jié)果以圖形方式靜態(tài)或動(dòng)態(tài)顯示出來(lái)，這些可視化方法很大的提高了學(xué)生的興趣及學(xué)習(xí)主動(dòng)性。

所以，此篇論文也意在通過(guò)編程語(yǔ)言，將幾類常見(jiàn)的數(shù)值計(jì)算方法可視化的展現(xiàn)出來(lái)，使得我們能對(duì)數(shù)值計(jì)算方法有更好的了解，記憶與學(xué)習(xí)。

（空2行）

[1] 張韻華，王新茂，陳效群，張端．?dāng)?shù)值計(jì)算方法與算法[m]．第3版．北京：科學(xué)出版社，2016．

[2] richard l．burden．numerical analysis[m]．第7版．boston：cengage learning，2012．

[3] 劉愛(ài)晶．計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程[j]．科技信息(學(xué)術(shù)版)，2008，（34）：474-477．

[4] j．m．carnicer．optimal stability of the lagrange formula and conditioning of the newton formula[j]．journal of approximation theory，2017，07（5）：238

[5] 郭小樂(lè)．基于matlab的常見(jiàn)插值法及其應(yīng)用[j]．赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)， 2017，33（07）：5-7．

[6] 李順．求解非線性方程高階迭代法的研究[d]．杭州：杭州師范大學(xué)，2016．

[7] 吳江．求解非線性方程高階迭代法研究[d]．杭州：杭州師范大學(xué)，2019．

[8] 張輝．求解非線性方程（組）的改進(jìn)迭代法[d]．南充：西華師范大學(xué)，2018．

[9] 雍龍泉．線性方程組的4種迭代方法[j]．陜西理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，32（05）：80-84．

[10] 張軍．幾類數(shù)值求積公式的構(gòu)建及其智能算法應(yīng)用研究[d]．長(zhǎng)春：吉林大學(xué)，2017．

[11] 姜兆檸．常微分方程數(shù)值解的求解[j]．科技經(jīng)濟(jì)導(dǎo)刊，2019，27（17）：　154-155．

[12] l．f．shameine．numerical solution of ordinary differential equations [m]．boca raton：crc press，2018．

[13] 彭東海．matlab的常微分方程的求解及數(shù)值仿真[j]．現(xiàn)代計(jì)算機(jī)，2020，01（29）：59-63．

[14] 周忠，周瑞芳．可視化方法在常微分方程數(shù)值解教學(xué)中的應(yīng)用[j]．教育現(xiàn)代化，2018，5（01）：171-173．